Question

如图，在平行四边ABCD中，E F分别为边AB CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G

（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形

Answer 1

如图：

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=1 /2 AB，CF=1 /2 CD．

∴AE=CF．

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∵AG∥BD，

∴四边形AGBD是平行四边形．

∵四边形BEDF是菱形，

∴DE=BE．

∵AE=BE，

∴AE=BE=DE．

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°．

∴∠2+∠3=90°．

即∠ADB=90°．

∴四边形AGBD是矩形

Answer 2

分析：（1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点
∴BE= 12AB，DF= 12CD．
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF，
（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，∠ADB=90°，
∵E为AB的中点，
∴DE=BE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

Answer 3

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点
∴BE= 12AB，DF= 12CD．
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF，
（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，∠ADB=90°，
∵E为AB的中点，
∴DE=BE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

Answer 4

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=1 /2 AB，DF=1/2 CD．
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵平行四边形ABCD
∴AD//BG
又∵AG//DB
∴四边形ADBG是平行四边形
又∵∠G=90°
∴四边形AGBD是矩形，

∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴DE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

Answer 5

DF//BE且相等，则平行四边形BEFD中可知DE//BF
AG//DB,AD//BG,AGBD为平行四边形切G角为90度，则为矩形，则可知角ADB为90°，直角三角形中斜边中线为斜边一半，DE=BE=1/2AB，又由第一问知BEDF为平行四边形，则为菱形

追问

过程不清楚