Question

已知函数f（x）是定义域R上的偶函数，当X≥0时，f（x）=x（1+x）。画出函数f（x）的图像，求函数解析式

当＜0时，-x＞0
f（-x）=-x（1-x）=x（x-1）
因为f（x）为偶函数
所以f（x）=f（-x）=x（x-1）
所以f（x）解析式为
f（x）=x（1+x），x≥0
f（x）=x（x-1），x＜0
答案我知道，但是第三部。f(x)=f(-x)应该是指的这个偶函数，而不是那x<0的时候的函数吧，那直接一部得出f（x）=f（-x） 都等于x（1+x）不就行了？

Answer 1

已知函数f（x）是定义域R上的偶函数，当X≥0时，f（x）=x（1+x）。画出函数f（x）的图像，求函数解析式

解析：∵函数f（x）是定义域R上的偶函数，当X≥0时，f（x）=x（1+x）

显然，这是一个分段函数

当x<=0时，f(x)=x^2-x

当X>=0时，f(x)=x^2+x

下面给出它的图像：

注意，图中有二个开口向上的抛物线，从这二个抛物线各取一部分为本函数图像

即靠近Y轴的曲线部分组成本函数的图像。

Answer 2

这两个是不一样的，因为二次函数f（x）=x（1+x）的对称轴不是Y轴，因此你最后得的结论是不对的。
在x<0时f（x）=x（x-1），看到了没有-x实际是正数，

追问

这个我知道，但是第三部的f（x）=f（-x）=x（x-1） 我不明白什么意思啊。x（1+x）这个不是偶函数，所以那第三步是什么意思

追答

f（x）=f（-x）是偶函数
你注意到这个函数实际可以分为两部分y1=x^2,y2=x
让其分别为偶函数，则y1=x^2,y2=-x(x<0)

Answer 3

f（x）=f（-x）=x（x-1），x＜0
表示：当x＜0时，x 这一点的函数值和-x这一点的函数值时一样的，而-x这一点的函数值就是x(x-1)

按你所说的“直接一部得出f（x）=f（-x） 都等于x（1+x）”
你这个式子只能表示：当x≥0时，-x这一点的函数值和x这一点的函数值时一样的。

追问

那时候x已经小于0了，那哪来的-x？-x不就是大于0了

追答

就是 -x＞0啊，因为-x＞0，所以才能把 -x 代入x（1+x）这个式子啊，这样求得-x的函数值x(x-1)

Answer 4

你这样做是不可以的。x(1+x)这个函数只有在x>0的时候才可以用。它只是这个函数的一部分并不能代表全体