Question

已知点C是线段AB上任意一点(C与A或B不重合),分别以AC和BC为边在AB的同侧作等边三角形ACD和等边△BCE,AE与C

D交于M,BD与CE交于N.
求证：(1)△ACE≌△DCB;(2)△ACM≌△DCN;(3)MN∥AB。

Answer 1

根据题意可知
AC=DC BC=EC ∠ACD=60° ∠BCE=60°
(1)
∵∠ACD=60° ∠BCE=60°
∴∠DCE=60°
∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠DCB=∠BCE+∠DCE=120°
∴∠ACE=∠BCE 另AC=DC BC=EC
∴△ACE≌△DCB

(2)
∵△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB 加上AC=DC ∠ACD=∠DCE=60°
∴△ACM≌△DCN

(3)
∵△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠DBC 加上BC=EC ∠DCE=∠BCE=60°
∴△MCE≌△NCB
∴CM=CN ∵∠DCE=60°
∴△CMN是正三角形 ∠CMN=60°
∵∠ACD=60°
∴∠CMN=∠ACD
∴MN∥AB

Answer 2

证明：∵∠BCE=60°∴∠ACE=120°
同理∠CDB=120°
∴∠ACE=∠CDB=120°
∵AC=CD,CB=CE
边角边的原理他们是全等三角形
同理2
有以上两个结论可以得出CN=CM
∠MNC=60°
∴ΔMNC为等边Δ
∠CNM=60°
∵∠BCE=60°
∴∠CNM=∠BCE
内错角相等两直线平行
所以MN∥AB