Question

求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

Answer 1

这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC 

求证： DE＋DF＝BH 

证法一：

连接AD

则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2 

而△ABC的面积＝BH*AC/2 

所以：DE＋DF＝BH 

即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 

证法二：

作DG⊥BH，垂足为G

因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC

所以四边形DGHF是矩形

所以GH＝DF

因为AB＝AC

所以∠EBD＝∠C

因为GD//AC

所以∠GDB＝∠C

所以∠EBD＝∠GDB

又因为BD＝BD

所以△BDE≌△DBG（ASA）

所以DE＝BG

所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH

证法三：

提示：

过B作直线DF的垂线，垂足为M

运用全等三角形同样可证

另外运用三角函数也能进行证明

Answer 2

可用面积法。
设腰长为1，等腰三角形底边上任一点到两腰的距离分别为h1、h2
一腰上的高h
等腰三角形面积S=1/2*1*h1+1/2*1*h2=1/2（h1+h2）
等腰三角形面积S=1/2*1*h=1/2*h
h=h1+h2
证毕。

Answer 3

解答：设等腰△ABC，AB=AC=x，
AB或AC上的高=h，
P是底边BC上任意一点，
过P点分别作AB、AC的垂线，
垂足为E、F点，
连接AP，
则△ABC面积=△ABP面积＋△ACP面积
=½x×PE＋½x×PF=½xh，
∴PE＋PF=h。