Question

求反函数的导数的推导过程。在线等，谢谢。

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Answer 1

首先要保证函数y=f（x）在包含a点的开区间I上严格单调且连续,如果这函数在a点可导并且导数f'（a）≠0,那么反函数x=g（y）在点b=f（a）可导,且g'（b）=1/f'（a）=1/f'（g（b））.
证明：在所给条件下,函数x=g（y）也严格单调且连续.于是,当y≠b,y→b时,有g（y）≠g（b）,g（y）→g（b）.因而：
lim[（g（y）→g（b））/（y-b）]=lim1/[（y-b）/（g（y）→g（b））]=lim1/[(f（x）-f（a）)/（x-a）]=1/f'（a）=1/f'（g（b））.
举例法：
f(x)=2x+3,f(x)的反函数为g(x)
y=2x+3
y-3=2x
2x=y-3
x=(y-3)/2=1/2y-3/2
y=1/2x-3/2
g(x)=1/2x-3/2。
f'=2,g'=1/2
g'=1/f'
这个推论是否能推广到一般，即对于任意存在反函数的函数f(x)的导数为f(x)的导函数的倒数，
g'=1/f'。
y=f(x)。的反函数y=g(x)。
令f(x)在x=x0上右一点P(x0,y0),y0=f(x0），则P关于y=x的对称点P'(x0',y0')。x0'=y0,y0'=x0,P'(y0,x0),在反函数y=g(x)上，y0=g(x0),

x=g(y)。
两边求导。
1=g'xy'=g'xf'
g'=1/f'
证明完毕，因为反函数的y就是原函数的x,反函数的自变量x就是原函数的应变量y,反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，所以反函数与原函数关于y=x对称，然后反函数在Px=x0的到数值则为f在x=x0的导数值得导数.
比如y=(x)^1/2在（0，+无穷）上的的反函数为y=x^2。（0,+无穷）的导函数。P(4,2),
P'(2,4)在反函数y=x^2上。
y'=1/2x^(-1/2)。y'（4）=1/2x4^(-1/2)=1/2x1/2=1/4
y'=2x
y'(2)=2x2=4。
y'(2)xy'(4)=4x1/4=1
反函数在P(a,b)上的导数值=原函数在P'(b,a)上的导数值的倒数。