Question

幂级数问题，高手进。。。。。。

一，幂级数在x为零时，是不是一定收敛？
二，一个幂级数在收敛域内存在和函数，也就是说s（x）=各项相加的形式。这个时候，右边的式子能不能看成普通的加式，即我对这个等式的左边作各种运算时，右边能不能作相应的运算。注：书上只说了积分和求导，但是没说加减乘除。例如我在左边乘以x，是不是就等于在右边各项都乘以x。
三，如果问题二不好回答那么看这个问题，也是书上的，已知一个幂级数的收敛域为（-1，1），和函数为s（x），那么xs（x）这个表达式是什么含义，是两个幂级数相乘还是两个幂级数的和函数相乘？它为什么能看成是另外一个幂级数的和函数？该幂级数的收敛域为什么还是（-1，1）？
四，如果三不好回答，看这个：两个幂级数的坷西乘积在收敛域内等不等于相应和函数的成绩？

Answer 1

1.假定你说的是以x=0为中心展开的幂级数，即Maclaurin级数，那么x=0时当然收敛
2.如果s(x)=\sum an x^n，在收敛域内这个是等式，当然可以做任何运算。
如果要进行逐项运算，那么这个就不是很平凡的了，所以才要研究逐项积分和求导。至于你说的逐项相加，或者逐项乘同一个量，那么这个是非常平凡的，用部分和的极限来看就行了。
3.看上面的2，s(x)=\sum an x^n在收敛域内就是一回事，不用再区分幂级数和和函数，只不过是表达形式的区别。
4.级数A=\sum an和级数B=\sum bn的Cauchy乘积在其中之一绝对收敛的情况下可以保证(\sum an)(\sum bn)=AB，而对于幂级数而言在收敛圆的内部确实是绝对收敛的，所以结论成立。