Question

求极限（π/2-arctanx）∧1/lnx。x趋于无穷

呃…老师不让用洛必达，只让用最基本的代换或等价无穷小之类，我们也没学那呢

Answer 1

取自然对数得：

lim(x→∞）ln（π/2-arctanx)/lnx (这是∞/∞型，运用洛必达法则）

＝lim(x→∞）-1/(1+x^2)*1/（π/2-arctanx)*x

=lim(x→∞）-1/x*1/（π/2-arctanx)(这是0/0型，运用洛必达法则）

=lim(x→∞）1/x^2*[-(1+x^2)]

=-1

其中lim(x→∞）-1/(1+x^2)*x=lim(x→∞）-1/x

所以lim(x→∞）（π/2-arctanx)^(1/lnx)=1/e

极限：

 因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

取自然对数得
lim(x→∞）ln（π/2-arctanx)/lnx (这是∞/∞型，运用洛必达法则）
＝lim(x→∞）-1/(1+x^2)*1/（π/2-arctanx)*x
=lim(x→∞）-1/x*1/（π/2-arctanx)(这是0/0型，运用洛必达法则）
=lim(x→∞）1/x^2*[-(1+x^2)]
=-1
其中lim(x→∞）-1/(1+x^2)*x=lim(x→∞）-1/x
所以lim(x→∞）（π/2-arctanx)^(1/lnx)=1/e

Answer 3

令y=π/2-arctanx，则x=tan(π/2-y)=coty x趋于无穷时，y趋于0
原式=y^(1/lncoty)
=e^(lny/lncoty)
=e^[lny/(lncosy-lnsiny)]
=e^[lny/(-lnsiny)] (y趋于0时，cosy趋于1，lncosy趋于0)
=e^(-lny/lny) (y趋于0时，siny趋于y)
=e^(-1)=1/e
你自己换成极限的写法吧