Question

请问高数，可以证一下（2）、（3）吗，万分感谢😊

Answer 1

证明：
这个证明非常简单！
根据题意：
∀ε>0，∃N∈N，当n>N时，
|un/vn-l|<ε
∴
vn(l-ε)<un<vn(l+ε)

2）
当Σvn收敛时，∀ε'>0，p∈N，∃N'∈N，当m>N时，
|v(m+1)+....v(m+p)|<ε'
而l=0时，un<vn(l+ε)=εvn
即：un/ε<vn
因此，必定有：
ε·|u(m+1)+....+u(m+p)|<|v(m+1)+....+v(m+p)|<ε'
∴
|u(m+1)+....+u(m+p)| < ε'/ε
取m=max{N,N'}，则上式必定成立！
∴Σun收敛！
同理，当l=L，且L为任意值时，Σvn发散，即：
∀ε>0，N∈N，∃m∈N，p∈N,当m>N时，
|v(m+1)+....v(m+p)|>ε'
有：
|u(m+1)+....+u(m+p)|·(L-ε)>|v(m+1)+....v(m+p)|>ε'
即：∃m,p∈N，L>ε，
|u(m+1)+....+u(m+p)|>ε'/(L-ε)
∴Σun发散！

追问

这个是加号吗？