Question

求教【数列极限】问题

n^(1/n) 也就是n的1/n次幂的极限是什么呢
答案是1 我觉得 也是1 但是 怎么算的 嗨~~~ 愚笨了

谢谢

Answer 1

n^(1/n)求其自然对数ln[n^(1/n)]=(ln n)/n
n趋向正无穷大时，ln[n^(1/n)]=(ln n)/n极限为0
因此[n^(1/n)]极限为1

追问

为啥ln[n^(1/n)]的极限是0呢 求指教

追答

ln[n^(1/n)]=(ln n)/n
而(ln n)/n极限是0
(ln x)/x对分子分母同时分别求导，得1/x，1/x极限为0
故(ln x)/x极限为0
因此(ln n)/n极限是0
而ln[n^(1/n)]=(ln n)/n
所以ln[n^(1/n)]的极限是0

Answer 2

记n^(1/n) =1+hn，则hn>0（n>1) 从而n=（1+hn）^n>n(n-1)/2 ×(hn)^2 即hn<√(2/（n-1) ） 所以1<n^(1/n) <1+√(2/（n-1））由夹逼原理得lim(n→∞ )n^(1/n) =1

追问

为啥 n^(1/n)可以写成 1+hn呢

追答

这只是将n^(1/n）记为1+hn，没什么特殊含义。

Answer 3

这个极限任何一本高等数学、微积分、数学分析教材都会有证明的，你弄一本看看就好了。如果你还没学高等数学，那就不要考虑了，这不是初等数学可以解决的问题。

Answer 4

用对数来做的确要比用夹逼性来得要简单……
对于永星天恒的答案，
我觉得在补充一点比较容易明白吧：

n趋向正无穷大时，ln[n^(1/n)]=(ln n)/n极限为0，
则e^ln[n^(1/n)]极限为e^0=1，
而e^ln[n^(1/n)]=n^(1/n)，
因此[n^(1/n)]极限为1 。