Question

AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是圆O的切线

两种不同的做法

Answer 1

证明：连接OC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB=BD，△BCD为等腰三角形，∠CBD=120°．
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
第二种：角A=30°所以BC:AC=1：根号3
三角形BOC是等边三角形，所以BC=BO=OA, BC:AC=OA:AC=1：根号3
所以两边平方 3OA^2=AC^2
即OA:AC=AC:3OA,OA:AC=AC:(AO+BO+BD)=AC:AD
所以三角形OAC和三角形CAD相似
所以角D=角OAC=30°那么角OCD=90° 所以结论成立

追问

两种方法

Answer 2

OA=OC,所以∠CAB=∠ACB=30°
∠COB=∠CAB+∠ACB=60°

OB=OC,∠COB=60°,所以∠OBC=∠OCB=(180-60)/2=60°，所以CB=OB

CB=OB=BD，∠OBC=∠BCD+∠DBC=60°，且∠BCD=∠DBC=30°

∠DBC+∠OCB=30+60=90°

追问

不是和上面一样嘛。=.=

追答

貌似是呢。╮(╯_╰)╭

Answer 3

1.用弦切角等于弦所对的圆周角证明
证明：
∵AB是直径
∴∠ACB=90º
∵∠BAC=30º
∴BC=½AB=OB=BD
∴∠BCD=∠D
∵∠ABC=90º-30º=60º
∠ABC=∠BCD+∠D
∴∠BCD=30º=∠BAC【根据弦切角等于弦所对的圆周角】
∴CD是圆O的切线
2.用CD⊥CO证明
证明：
在（1）的基础上
连接CO
∵OB=OC
∴∠OCB=∠OBC=60º
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90º
∴CD 是圆O的切线
（3）CD²=DB×AD
证明：
利用前面
∵∠BCD=∠CAD
∠CDB=∠ADC
∴⊿CBD∽⊿ACD
∴CD/AD=BD/CD
转化为CD²=BD×DA
∴CD为是圆O的切线

Answer 4

【证明】连接OC,BC.
因为角CAB=30,OA=OC
所以,角COB=60.又OC=OB
故三角形OBC是等边三角形
即BC=OB=BD.
所以,角BCD=30.
那么角DCO=角BCO+角BCD=60+30=90.
所以,DC是圆O的切线.

Answer 5

证明：连接OC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB=BD，△BCD为等腰三角形，∠CBD=120°．
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．

Answer 6

连接OC。
因为点C在圆上，AB是圆的直径，所以三角形ABC是直角三角形，即∠ACB=90度；因为∠CAB=30度，所以∠ABC=60度，又因为OC，OB都是圆的半径，则OC=OB，又∠ABC=60度，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，所以BC=OB，又OB=BD ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一定理的反定理得，∠OCD=90度。所以根据圆的切线的判定定理得，DC是圆O的切线。