高数 多元函数极值 一道
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设内接长方体在第一卦限的点(x,y,z)
则长=2x,宽=2y,高=z
V=4xyz
f(x,y,z,λ)=4xyz+λ(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1)
f'x=4yz+2λx/a^2=0
f'y=4xz+2λy/b^2=0
f'z=4xy+2λz/c^2=0
f'λ=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
联立得
x/a=y/b=z/c=√3/3
即存在唯一驻点(√3a/3,√3b/3,√3b/3)
内接长方体体积必有最大值，所以唯一驻点为极大值
长=2x=2√3a/3
宽=2y=2√3b/3
高=z=√3c/3
则长=2x,宽=2y,高=z
V=4xyz
f(x,y,z,λ)=4xyz+λ(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1)
f'x=4yz+2λx/a^2=0
f'y=4xz+2λy/b^2=0
f'z=4xy+2λz/c^2=0
f'λ=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
联立得
x/a=y/b=z/c=√3/3
即存在唯一驻点(√3a/3,√3b/3,√3b/3)
内接长方体体积必有最大值，所以唯一驻点为极大值
长=2x=2√3a/3
宽=2y=2√3b/3
高=z=√3c/3
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