Question

有关基本不等式的解题思路

例如：已知abc均为正数,且a+b+c=1,求证4<根号下3a+1+根号下3b+1+根号下3c+1《3根号下2 是怎么样想到同乘以根号2的呢？ 谢谢回答。

Answer 1

结合已知条件，根据各种不等式，去构想。这是熟能生巧的事。
一方面要一题一题地做清楚。另一方面要多做题，了解更多的题型。这题就已经是比较特殊的，特殊的就要注意多记记。另外，还要注意总归纳，说到底，方法和技巧还是有限的。
∵a、b、c均为正数,且a+b+c=1,
∴0<a,b,c<1.
∴a>a²,b>b²， c>c²
√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)= √(2a+a+1)+√(2b+b+1)+√(2c+c+1)
> √(a²+2a+1)+√(b²+2b+1)+√(c²+2c+1)
=a+1+b+1+c+1=4;
另一方面，√(3a+1)•√2+√(3b+1)•√2+√(3c+1) •√2
≤((3a+1)+2)/2+((3b+1)+2)/2+((3c+1)+2)/2=(3a+3b+3c+9)/2=6
∴√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) ≤3√2
综上知，4<√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) ≤3√2

追问

不知道是不是能够给些特殊的方法，和需要记忆的东西呢？

追答

给个题目你可以好好咀嚼。这是颗橄榄，只有慢才能体会个中之味。
已知a、b、c∈R，且ab+bc+ac=1，求证：根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab≥根号3（根号a+根号b+根号c）
a b c∈R+ ab+bc+ac=1
由柯西不等式（(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2+……+(an)^2)((b1)^2+(b2)^2+(b3)^2+……+(bn)^2)
≥(a1b1+a2b2+a3b3+……+anbn)^2）,得：
(根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab)(根号abc+根号abc+根号abc)>=(根号a+根号b+根号c)^2………………………（1）

由均值不等式平方平均数>=调和平均数
[√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]>= n/(1/a1+1/a2+...+1/an)],
可知：
对于正实数x y z, (x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x+1/y+1/z)
即，1/x+1/y+1/z>=3/((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2+y^2+z^2)
所以有：
(根号a+根号b+根号c)/根号abc=1/根号bc+1/根号ac+1/根号ab>=3根号3/根号(ab+bc+ca)=3根号3……………（2）

综合（1）、（2）可得：
根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab>=(根号a+根号b+根号c)^2/(根号abc+根号abc+根号abc)……由（1）式得
=(根号a+根号b+根号c)(根号a+根号b+根号c)/3根号abc>=(根号a+根号b+根号c)*3根号3/3……由（2）式得
=根号3(根号a+根号b+根号c)
所以原不等式成立

追问

谢谢，最近比较忙，周五在看吧。
帮我解决一道题：y=（x²+16）/（（根号下x²）+4）

追答

做什么？
y=（x²+16）/（（根号下x²）+4）是分段函数
（根号下x²）要根据x的取值来讨论
x>0
x=0,无定义
x<0

追问

不好意思，忘记打了，是最小值，不知是否可以给个邮箱，以后遇到问题，还可以求助你。谢谢。

追答

可以用HI