Question

BC是圆O的直径,AD⊥BC于D,弧BA=弧AF,BF与AD交于E。

求证：
（1）AE=BE
（2）若A,F把半圆三等分，BC=2, 求AE的长

Answer 1

（1）
连接AC，则有：∠BAC = 90° ；可得：∠BAD = 90°-∠ABC = ∠ACB ；
已知，弧AF = 弧AB ，可得：∠ABF = ∠ACB = ∠BAD ，即：∠EBA = ∠EAB ；
所以，AE = BE 。
（2）
若A,F把半圆三等分，则弧AB和弧AF所对的圆心角都是 60° ，
可得：AB = BC/2 = 1 ，∠ABF = 30° ；
过点E作EH⊥AB，则EH是等腰△EAB底边上的高，可得：AB = 2BH ；
在Rt△BEH中，∠BHE = 90° ，∠EBH = 30° ，则有：EH = BH/√3 ；
所以，AE = BE = 2EH = 2BH/√3 = AB/√3 = 1/√3 = √3/3 。