若A.B∈R+,且A+B=1,求证(A+1/A)^2+(B+1/B)^2≥25/2
1个回答
展开全部
没人答？？我来试试。
因为 1=A+B>=2√(AB)，所以，AB<=1/4，1/AB>=4，
又A^2+B^2>=2AB，所以，两边同时加上A^2+B^2得
2(A^2+B^2)>=A^2+2AB+B^2=(A+B)^2=1，
即 A^2+B^2>=1/2，
所以，
(A+1/A)^2+(B+1/B)^2
=A^2+2+1/A^2+B^2+2+1/B^2
=4+(A^2+B^2)+(1/A^2+1/B^2)
=4+(A^2+B^2)+(A^2+B^2)/(A^2*B^2)
=4+(A^2+B^2)*[1+1/(A^2*B^2)]
>=4+1/2*(1+4^2)
=25/2。
因为 1=A+B>=2√(AB)，所以，AB<=1/4，1/AB>=4，
又A^2+B^2>=2AB，所以，两边同时加上A^2+B^2得
2(A^2+B^2)>=A^2+2AB+B^2=(A+B)^2=1，
即 A^2+B^2>=1/2，
所以，
(A+1/A)^2+(B+1/B)^2
=A^2+2+1/A^2+B^2+2+1/B^2
=4+(A^2+B^2)+(1/A^2+1/B^2)
=4+(A^2+B^2)+(A^2+B^2)/(A^2*B^2)
=4+(A^2+B^2)*[1+1/(A^2*B^2)]
>=4+1/2*(1+4^2)
=25/2。
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
