Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，

请回答下列问题，并说明理由。
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

Answer 1

问题①：四边形ADEF是平行四边形
理由：∵△ABD和△EAC都是等边三角形
∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC
∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
∵△ACF是等边三角形,AC=AF
∴DE=AF
同理：EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形
问题②：当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形。
理由：∠BAC=150°，∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是矩形
问题③：当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形. 问题④：当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，所以四边形ADEF不存在

Answer 2

1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形

（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)

（4）∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时，∠DAF=180°
，此时四边形ADEF不存在

Answer 3

你（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形

（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)

（4）∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时，∠DAF=180°
D、A、F在一条直线上，此时四边形ADEF不存在

Answer 4

∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=9∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．0°．

Answer 5

（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形
（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形
（3）∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时，∠DAF=180°
D、A、F在一条直线上，此时四边形ADEF不存在