Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，

请回答下列问题，并说明理由。
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

Answer 1

1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形

（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)

（4）∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时，∠DAF=180°
，此时四边形ADEF不存在
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2011-10-25 22:12 hzsog | 三级
如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：
（1）说明四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60o-∠ABE，∠ABC=60o-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）当∠BAC=150o时，四边形ADEF是矩形．

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15o时，四边形ADEF是菱形．

（4）当∠BAC=150o且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15o时，四边形ADEF是正方形．

（5）当∠BAC=60o时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
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2011-10-27 18:56 热心网友
问题①：四边形ADEF是平行四边形
理由：∵△ABD和△EAC都是等边三角形
∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC
∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
∵△ACF是等边三角形,AC=AF
∴DE=AF
同理：EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形
问题②：当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形。
理由：∠BAC=150°，∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是矩形
问题③：当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)
问题④：当△ABC满足∠BAC=150°，AB=AC时，四边形ADEF是正方形
理由：由问题②知当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；由AB=AC,所以四边形ADEF是正方形
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2011-10-27 20:17 热心网友
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：探究型．分析：根据等边三角形的性质及平行四边形的判定（两组对边分别相等的四边形是平行边形）来证明四边形ADEF是平行四边形，同理可根据各多边形的判定方法来证明．解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60o-∠ABE，∠ABC=60o-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）

（2）当∠BAC=150o时，四边形ADEF是矩形．（5分）

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15o时，四边形ADEF是菱形．（6分）

（4）当∠BAC=150o且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15o时，四边形ADEF是正方形．（7分）

（5）当∠BAC=60o时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）点评：此题考查了学生对全等三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形的判定方法的理解及运用．
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2011-10-27 21:31 wjz6900 | 二级
解：（1）四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中，
∵BC=BE，BA=BD，∠DBE=∠ABC（与∠ABE之和都等于60°），
∴△ABC≌△DBE，
∴DE=AC，
在△ABC和△FEC中，
∵BC=EC，CA=CF，∠ACB=∠FCE（都为60°角与=∠ACE之和），
∴△ABC≌△FEC，
∴FE=AB，
∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，
∴四边形ADEF是个平行四边形；

（2）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；

（3）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
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2011-10-29 21:39 纯黑·耳钉 | 二级
∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=9∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．0°．
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2011-10-30 10:58 热心网友
（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形

（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)

（4）∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时，∠DAF=180°
D、A、F在一条直线上，此时四边形ADEF

Answer 2

考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：探究型．分析：根据等边三角形的性质及平行四边形的判定（两组对边分别相等的四边形是平行边形）来证明四边形ADEF是平行四边形，同理可根据各多边形的判定方法来证明．解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60o-∠ABE，∠ABC=60o-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）

（2）当∠BAC=150o时，四边形ADEF是矩形．（5分）

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15o时，四边形ADEF是菱形．（6分）

（4）当∠BAC=150o且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15o时，四边形ADEF是正方形．（7分）

（5）当∠BAC=60o时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）点评：此题考查了学生对全等三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形的判定方法的理解及运用．

Answer 3

（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形

（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)

（4）∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时，∠DAF=180°
D、A、F在一条直线上，此时四边形ADEF不存在

Answer 4

问题①：四边形ADEF是平行四边形
理由：∵△ABD和△EAC都是等边三角形
∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC
∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
∵△ACF是等边三角形,AC=AF
∴DE=AF
同理：EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形
问题②：当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形。
理由：∠BAC=150°，∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是矩形
问题③：当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)
问题④：当△ABC满足∠BAC=150°，AB=AC时，四边形ADEF是正方形
理由：由问题②知当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；由AB=AC,所以四边形ADEF是正方形

Answer 5

解：（1）四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中，
∵BC=BE，BA=BD，∠DBE=∠ABC（与∠ABE之和都等于60°），
∴△ABC≌△DBE，
∴DE=AC，
在△ABC和△FEC中，
∵BC=EC，CA=CF，∠ACB=∠FCE（都为60°角与=∠ACE之和），
∴△ABC≌△FEC，
∴FE=AB，
∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，
∴四边形ADEF是个平行四边形；

（2）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；

（3）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．