Question

求高一数学题不等式证明 急

若x,y属于正数，求证x2+y2+1>=xy+x+y

谢谢

Answer 1

原式左右×2，化为：
2x2+2y2+2>=2xy+2x+2y
(x2-2xy+2y2)+x2+y2+2>=2x+2y
(x-y)^2+x^2-2x+y^2-2y+2>=0
(x-y)^2+(x^2-2x+1)+（y^2-2y+1）>=0
(x-y)^2+（x-1）^2+(y-1)^2>=0 ……（式2）
即只需要证明式2成立即可，由于等式左边是三个平方数之和，显然大于等于0，式2成立，所以原不等式成立。

Answer 2

2x2+2y2+2-(2xy+2x+2y)=(x-1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2>=0
所以2x2+2y2+2>=2xy+2x+2y
所以x2+y2+1>=xy+x+y