Question

一道数学题，自己画的图，不太好，大哥大姐尽量看吧，嘿嘿。

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E。
（1）求证：△AOC全等于△AOD
（2）若BE=1，BD=3，求☉O的半径及图中阴影部分的面积S。

Answer 1

1.证明:
∵∠C=90°
∴AC⊥OC
又∵点C在⊙O上
∴AC切⊙O于C
∵AB切⊙O于D
AC切⊙O于C
∴∠DAO=∠CAO
AB=AC
在△AOC和△AOD中
{AD=AC
{∠DAO=∠CAO
{AO=AO
∴△AOC≌△AOD(SAS)

2.解:设⊙O半径=r
则DO=EO=CO=r
∵AB切⊙O于D
∴OD⊥AB
∴∠ODB=90°
在RT△BOD中,∠OBD=90°
∴BO²=DO²+BD²
∵BE=1,BD=3
∴r²+3²=(r+1)²
r=4
∴BO=DO=CO=4
BC=9
∵AC=AD
又∵在△ABC中,∠ACB=90°
∴AC²+BC²=AB²
AC²+9²=(AC+3)²
81=6AC+9
AC=12
∴S△ABC=½×AC×BC=54
S半圆EOC=(180×π×4²)÷180=16π
∴S阴影=S△ABC-S半圆EOC=54-16π

以上你可以直接抄到本子上- -

Answer 2

（1）证明：∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
在Rt△AOC和Rt△AOD中，
{OC=ODAO=AO
∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．
（2）设半径为r，在Rt△ODB中，
r2+32=（r+1）2解得r=4；
由（1）有AC=AD，AB=AD+DB=AC+DB=AC+3，BC=BE+2r=1+8=9，
在直角三角形ABC中，
根据勾股定理得：AC2+92=（AC+3）2解得AC=12，
∴S= 12AC•BC- 12πr2= 12×12×9- 12π×42=54-8π．