Question

在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,PA=AB=1,BC=2

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD
(2)若E为PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值
(3)在BC上是否存在一点G，使得D到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD，又AD⊥CD∴CD⊥平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD

(2)取CD的中点F,连接EF,连接AF,△DPC内，RT△PAC内，PC=√AP²+AC²=√6，EF=1/2PC=√6/2     RT△ADF内，AF=√AD²+DF²=√17/2,又AE=1/2BD=√5/2

∴cos∠AEF=-√30/10

故所成角余弦值为√30/10

(3)过D作DO⊥AG,连接PO,∵AP⊥平面ABCD,∴AP⊥OD,∴OD⊥平面POG，∴OD即为点D到平面PAG的距离为1

sin∠OAD=OD/AD=1/2,∴∠AGB=∠OAD=30°，∴tan∠AGB=AB/BG=√3/3,∴BG=√3.