Question

三角形ABC,角C=90度，AC=8，AB=10，P在AC上，AP=2，若圆O圆心在线段BP上，且圆O与AB,AC相切，求圆O半径

Answer 1

解：设圆O半径是R

过点O分别作边AC的垂线OM，边AB的垂线ON，

∵圆O与AB,AC相切，

∴OM=ON=R，都是圆O的半径

方法一：连接AO，延长交BC于E，过点E作EF⊥AB，交AB于F，设CE=X

∵OM=ON，且OM⊥AC，ON⊥AB，

∴AE是∩BAC的角平分线，

则，CE=EF=X，BE=BC-CE=6-X

因为，△BFE∽△BCA

所以，BE/AB=EF/AC

即，(6-x)/10=x/8

解得：x=8/3

即，CE=8/3

       因为，AP=2，则CP=8-2=6

那么，△BCP是等腰Rt△，∩BPC=45°

则，△OMP也是等腰Rt△，PM=OM=R

      因为，△OMA∽△ECA

所以，OM/CE=AM/AC

即，R / (8/3) = (R+2) / 8

解得：R=1

      所以圆O的半径是1

方法二：（前面作法等同），延长NO交AC于点G

在Rt△GMO中，∩OGM+∩MOG=90°

在Rt△ANG中，∩OGM+∩GAN=90°

则，∩MOG=∩GAN

所以，Rt△GMO∽Rt△BCA，

可得：GM/AC=OM/AC=GO/AB

所以，GM=6/8*R=3/4*R

          GO=10/8*R=5/4*R

则，GN=GO+ON=5/4*R+R=9/4*R

      因为，AP=2，则CP=8-2=6

那么，△BCP是等腰Rt△，∩BPC=45°

则，△OMP也是等腰Rt△，PM=OM=R

那么，GA=GM+MA=GM+MP+AP=3/4*R+R+2=7/4*R+2

     因为，Rt△ANG∽Rt△BCA

则，AG/BA=GN/BC

即，(7/4*R+2) / 10 = (9/4*R) / 6

解得：R=1

所以，圆O的半径是1

下附图参考，将就着看。

Answer 2

圆O与AB AC相切 圆O圆心在线段BP上
所以圆O圆心比是∠A的角平分线与线段BP的交点
连接AO，延长线交BC与点E
建立直角坐标系 以BC、AC所在边分别为X轴和y轴 点C为原点
点A的坐标（0,8） 点B(6,0) P点坐标（0,6）
所以只要求出直线BP与直线AO的交点，然后交点到y轴的距离就是圆O的半径了
角C=90度，AC=8，AB=10
cosA=AC/AB=4/5
COS(A/2)=十分之三根号10 tg(A/2)=1/3
所以CE=ACtg(A/2)=8/3
所以E点坐标为（8/3,0）
根据点B(6,0) P点坐标（0,6） A的坐标（0,8）E点坐标为（8/3,0）
可以得出直线BP的方程为y=-x+6 ,直线AE的方程为y=-3x+8
所以就可以求出直线BP与直线AE的交点O坐标为（1,5）
点O到Y轴的距离为1 所以圆O的半径为1