Question

(2009.株洲)如图,A.B.C是圆心O上的三点,AB平行OC

Answer 1

（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC．
∴∠BAC=∠OAC．
即AC平分∠OAB．

（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE=BE=12AB=1．
又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，
∴∠OAE=60°．
∴∠EAP=12∠OAE=30°，
∴PE=AE×tan30°=1×√3/3． =√3/3． 即PE的长是√3/3．

Answer 2

分析：（1）由AB∥OC，得∠C=∠BAC，而∠C=∠OAC，得到∠BAC=∠OAC；
（2）①由OE⊥AB，AB=2，得AE= 12AB=1，再由∠AOE=30°，∠OEA=90°，得到OE= 3AE= 3，然后根据AB∥OC，得到 PEOP= OCAE，即 PEOP= 12，利用比例的性质即可得到PE．
②和①的方法一样，先根据垂径定理得到AE=5，根据勾股定理得OE= 132-52=12，再利用AB∥OC，得到 OPPE= OCAE，利用比例的性质即可得到OP．
解答：（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；

（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴ AE=BE=12AB=1，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE= 3AE= 3，
∵AB∥OC．
∴ PEOP= OCAE，即 PEOP= 12，
∴ PEOE= 13，
∴PE= 13OE= 33；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE= 132-52=12，
∵AB∥OC．
∴ OPPE= OCAE，
∴ OPOE= 1313+5，
∴OP= 1318×12= 263．

Answer 3

考点：圆周角定理；平行线的性质；角平分线的性质；勾股定理．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分∠OAB．
（2）利用勾股定理解直角三角形即可．
解答：证明：（1）∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC．
∴∠BAC=∠OAC．
即AC平分∠OAB．

解：（2）∵OE⊥AB，
∴AE=BE= 12AB=1．
又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，
∴∠OAE=60°．
∴∠EAP= 12∠OAE=30°，
∴PE=AE×tan30°=1× 33= 33，
即PE的长是 33．
点评：本题利用的是平行线，角平分线的性质结合直角三角形的性质利用勾股定理解答，有一定的综合性．

Answer 4

没有图