Question

已知向量模a=√2，向量模b=3，a与b的夹角是四十五度，求使向量a+λb与aλ+b的夹角是锐角时的取值范围

Answer 1

向量a²=|a|²=2，
向量b²=|b|²=9
a*b=|a|*|b|cos45°=3
使向量a+λb与aλ+b的夹角是锐角
需要满足两个条件
（1)(a+λb)(aλ+b)=a²λ+b²λ+(λ²+1)a*b>0
2λ+9λ+3(λ²+1)>0
3λ²+11λ+3>0
λ< (-11-√85)/6或λ>(-11+√85）/6
(2) a+λb与aλ+b不共线，
所以 λ≠ 1 且λ≠-1
综上， λ< (-11-√85)/6或λ>(-11+√85）/6 且λ≠ 1
即 λ< (-11-√85)/6或(-11+√85)/6<λ<1或λ>1

Answer 2

（向量a）²=|a|²=2，(向量b)=|b|²=9
向量a*向量b=|a|*|b|cos45°=3
由（a+λb）（aλ+b）=a²λ+b²λ+（λ²+1)ab<0
得2λ+9λ+(λ²+1)*3<0
解得(-17-√243)/6<λ<(-17+√243）/6