Question

已知直线L过点P(2,1),且被两条平行直线L1:4X+3Y+1=0 和L2 : 4X+3Y+6=0，截得的线段AB长为根号2，求

直线L的直线。 解：2平行线相距4/5*|-1/4+3/2|=1
截得的线段长为根号2
则求出直线与平行线夹角为45°
则此线的斜率为 7或-1/7
得

夹角为45°斜率为9或-1/9的解法有：

∵已知直线的斜率为：k=-4/3 有两种方法可以求出未知直线的斜率：
1）求出已知直线的倾角 θ=180º-|arctan(-4/3)|=180º-53.13º=126.87º
求出未知直线的倾角 θ1=126.87º+45º=171.87º
θ2=126.87º-45º=81.87º
求出未知直线的斜率 k1=tanθ1=tan171.87º=-1/7
k2=tanθ2=tan81.87º=7
2)由三角和差公式直接求：∵tan45=1
∴k1=(k+tan45)/(1-k*tan45)=(-4/3+1)/(1-(-4/3)*1)=-1/7
k2=(k-tan45)/(1+k*tan45)=(-4/3-1)/(1-4/3)=7
哪位数学高手知道更简单的方法吗？老师还没教呢? 夹角为45°，斜率为什么是7或1/7呢？？？
这个解法没学过，有更简单的方法吗？

Answer 1

可以这样：
设过点P(2,1)的直线斜率为k
则它的方程为：
（y-1）/（x-2）=k
y=kx-2k+1
再求出它与两条平行直线L1:4X+3Y+1=0 和L2 : 4X+3Y+6=0的交点
x1=（2k-4/3）/（k+4/3），y1=k（2k-4/3）/（k+4/3）-2k+1
x2=（2k-3）/（k+4/3），y2=k（2k-3）/（k+4/3）-2k+1
这两点的距离为根号2
根据两点间的距离公式：（x1-x2）^2+(y1-y2)^2=2
代入化简得:7k^2-48k-7=0
解得：k1=7，k2=-1/7
代入y=kx-2k+1，符合条件的直线有两条（画草即可知）
直线L的方程为:y=7x-13或y=-x/7+9/7

Answer 2

有几何方法，但估计算起来很麻烦
设直线方程为L3： y-1=k(x-2), 从P点作两平行直线的公垂线，垂足分别为A,B, AB=1，根据距离公式求出P到直线l1的距离PA。
设直线L3与L1，L2分别相交于C,D两点，CD=√2
根据相似三角形 PA/AB=PC/CD （1）
只有PA是未知数，A点坐标是L3，L1交点，联立求出，A点坐标用k可以表示出来。然后根据两点距离公式表示出PC,代入（1）求出k即可。
估计这样数字很麻烦，方法肯定可以。

Answer 3

这个题目用数形结合法来解是相当简单