Question

请教高数高手一个多元函数微分的求导问题

我这个知识点有点混乱，比如有一题：在满足偏导数条件下 F(x,y,z)=0 z=f(x,y)求偏z/偏x 。
我知道是先将y看做常数 然后就可以写成 Fx+Fz*（偏z/偏x） 注：这里不好打 就用Fx代替了 偏F/偏x ，Fz代替偏F/偏z。
那如果是y=sinx 可否仍然把y看做常数啊？仍然用上面的公式求偏z/偏x 呢？如果不行，为什么呢？

Answer 1

你把上面的y看做常数是默认了y不因x的变化而变化，这时你上面说的是对的
但是如你下面的式子y=sinx ，那么y就会随x的变化而变化，此时就不可以把y看做常数
其实多元函数微分，你也不要想得太复杂，你只要把它看成一个复合函数的形式来解，无非就是有了个偏微分的概念，换个符号，本质没有变化，还是求导数而已，只要能仔细的去把函数的复合关系看清楚，一步步的找清每一层复合关系，然后按照一元函数的微分的解题思路去解就可以 了，只不过把其中的偏导数看清换成偏导数符号就行了

追问

但是F(x,y,z)=0 同时也可以看成 y 是x，z的函数啊 为什么第一种情况就行呢? 第二种也是y 为x的函数，为什么就不行？

追答

你所谓的y 是x，z的函数是形成于在F的运算法则下出现的
然而z=f(x,y)确是z与x,y的单独以f的运算法则下出现 两个运算法则可是不同的

Answer 2

显然不行，首先y是关于x的函数，这就相当于复合函数求导了，再者如果你遇到这类的问题的话，比如z=f（x,y), y=sinx,你不妨把后者带入前者，即z=f(x,sinx),这样就变成了一元函数的复合函数求导了，还是比较简单的！
对于多元函数求偏导，可以将其他的看成常数，是因为想x、y等是相互独立的自变量。

追问

但是F(x,y,z)=0 同时也可以看成 y 是x，z的函数啊 为什么第一种情况就行呢? 第二种也是y 为x的函数。

追答

如果你把F(x,y,z)=0看成y是x，z的函数，请注意求偏导时就是ay/ax，ay/az了~，本质上它仍然是二元函数，是不是？

追问

确实是二元函数，但我还有点疑惑就是，F(x,y,z)=0 ，求偏z/偏x 。求解的时候把y 看成x,z的函数，把z 看成 x y的函数 那答案不就是很复杂的一项了么？y要对x求偏导，y还要对z求偏导然后z对x求偏导......就会变成 偏F/偏x +偏F/偏y*(偏y/偏x+偏y/偏z*偏x)+偏F/偏z*（偏z/偏x+（偏z/偏y）*偏y/偏x)？ 好像觉得会循环啊？ y中有x,z 都要求偏 还得继续求z对x偏；z中有x,y 也都要求偏，还得y再对x求偏？！ 什么情况 不太理解

Answer 3

F(x,y,z)=0 确定了函数 z= f(x,y)，
Fx' + Fz' * ∂z/∂x = 0 => ∂z/∂x = - Fx' / Fz'
如果y=sinx ， 于是 z= f(x), z是x的一元函数，
Fx' + Fy' * cosx + Fz' * dz/dx = 0 => dz/dx = - ( Fx' + Fy' * cosx ) / Fz'

Answer 4

多元函数的求导问题
答：实际上你的问题包含了两个问题：
(一).已知方程F(x，y，z)=0能确定一个二元函数：z=f(x，y)，其中x和y是两个独立的变量，这时
∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)，∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z).
在求∂F/∂x时把y，z看作常量；在求∂F/∂y时把x，z看作常量；在求∂F/∂z时把x，y看作常量。
(二)。已知方程F(x，y，z)=0能确定一个二元函数：z=f(x，y)，但其中y=sinx，(即x和y不是两个互相独立的变量，因此实际上z 是x的单变量函数)；这时：
dz/dx=-[∂F/∂X+(∂F/∂y)(dy/dx)]/(∂F/∂z)=-[∂F/∂x+(∂F/∂y)cosx]/(∂F/∂z)

追问

（一）但是由F(x，y，z)=0 也能确定出 y是x,z的函数。 z 是x，y的函数，那岂不是不能简单的把y,z当做独立的变量了么？为什么求偏导还能把它们当做常量处理？这里我比较混乱。

追答

你不要主观乱套！任何一个三元方程F(x，y，z)=0，如果脱去它的实际意义，你可以事先
规定它能确定一个二元函数z=f(x，y)，当然也可以确定另一个二元函数y=φ(x，z)，也还可
以确定另一个函数x=g(y，z)；但一旦确定了就不要再变。你不能在确定为第一种情况后，
又扯到第二，第三种情况。所谓的偏导数，就是规定只有一个变量起变化，而其它变量保
持为常量时函数的瞬时变化率。“其它变量保持为常量”并不是说它们真的是常量，只是
在求导时“把它们看作是常量”。或者说，在求导时只准一个变，不准其它的变；这是偏
导数的定义所规定。