Question

概率论与数理统计问题：已知X~N（μ，1），即EX=μ，求E（e^X），最好有个简单的讲解步骤，谢谢了！

Answer 1

由定义
f(x)=1/根号(2pi)exp(-(x-mu)^2/1^2)
E(e^X)=积分(-无穷，无穷)e^x *f(x) dx
=积分(-无穷，无穷)e^x *1/根号(2pi)exp(-(x-mu)^2/1^2) dx
=1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(x)*exp(-(x-mu)^2) dx
=1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(x-(x-mu)^2) dx
配方x-(x-mu)^2=-x^2+(2mu+1)x-mu^2
=-(x-mu-1/2)^2+1/2*(2mu+1/2)
=1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(-(x-mu-1/2)^2) exp(1/2*(2mu+1/2))dx
换元y=x-1/2
=exp(1/2*(2mu+1/2))*1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(-(y-mu)^2) dy
=exp(1/2*(2mu+1/2))*1
=exp(mu+1/4)

追问

谢谢你的回答，我还想问一下，是不是最后结果中的括号里应该是1/2呢，即应该为exp（μ+1/2）而不是exp（μ+1/4）呢？

追答

为什么你觉得是1/2呢？

追问

还有貌似你在求期望整理到第二步的时候丢了个“1/2”，

追答

请指出具体哪一步，我看着配方应该是对的~

追问

=1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(x)*exp(-(x-mu)^2) dx
这一步中第二个exp里少乘一个1/2

追答

你是对的，很久没碰过概率了~
=1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(x-(x-mu)^2/2) dx
配方x-(x-mu)^2/2=1/2[2x-x^2+2mu*x-mu^2]
=1/2[-(x-mu-1)^2+2m+1]
=-1/2(x-mu-1)^2+(m+1/2)
所以
=1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(-(x-mu-1)^2/2) exp(mu+1/2)dx
换元y=x-1
=exp(mu+1/2)*1/根号(2pi)积分(-无穷，无穷)exp(-(y-mu)^2) dy
=exp(mu+1/2)*1
=exp(mu+1/2)