Question

高等数学的一道积分值比较问题

Answer 1

tanx/x 以及 x/tanx 显然定义域都不能包含0.
但是积分区域含有0,从而不满足积分定义啊（[a,b]上的定积分要求f为[a,b]中的有界函数，而题中的f在a处没定义，那它的积分怎么定义的？）你的红框就是为了说明这个矛盾。
虽然tanx/x以及x/tanx 在0处没定义，但他们有极限，那么就可以补充定义他们在0点处的值为1，这可以看做延拓，而且保持连续性（延拓后再0处有定义，且在0处也连续） 在这个延拓意义下，积分定义就没矛盾了。

Answer 2

是为了验证函数tan(x)/x和x/tan(x),在[0,pi/4]上有界连续，进而可积。
事实上，他们在R上在x=0是跳跃间断点。

追问

极限存在，则函数局部有界，但是如何证明函数tan(x)/x和x/tan(x),在[0,pi/4]上连续的？

追答

y=tan(x)/x和y=x/tan(x)在x=0处补充定义y=1后连续，

Answer 3

定积分要求被积函数在积分区间[a,b]上连续，现在用红线画出来的部分表明
两个被积函数没有奇点，故它们不是反常积分，是普通意义下的定积分。

Answer 4

不知道啊