Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{√Sn}都是等差数列，且公差相等，则a6＝

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{√Sn}都是等差数列，且公差相等，则a6＝不要网上搜题然后复制来...我看不懂

Answer 1

你参考看看～

追答

Answer 2

好可惜，写慢了。

Answer 3

设数列an的公差为d，则a2=a1+d，S2=2a1+d，a3=a1+2d，S3=3a1+3d
由题有√S2=√S1+d，即√（2a1+d）=√a1+d，两边平方得
2a1+d=a1+2d*√a1+d²①
同理√S3=√S1+2d，即√（3a1+3d）=√a1+2d，两边平方得
3a1+3d=a1+4d*√a1+4d²②
②-①得：a1=-2d+2d*√a1+3d²③
把③代入①得：d（2d-1）=0
则d=0（此时a1=0，不符合题意，舍去），或d=1/2（此时a1=1/4）
a6=a1+5d=11/4

Answer 4

S(n) = [a(1)+a(n)]*n/2 = a1+ (n-1)*n*d/2 (d为公差，由于是正项数列，所以d为正)
既然√Sn也是等差数列，所以a1+ (n-1)*n*d/2是完全平方数，可以改造成（kn+j）^2的模式
S(n)=a1+ (n-1)*n*d/2 =（d/2）*n^2-(d/2)*n+a1
所以√(d/2)*√a1=d/4 得 d=8a1
则S(n)=4a1*n^2-4a1*n+a1= a1(2n-1)^2
√Sn = √a1(2n-1) 所以公差是2√a1 = d = 8a1 得a1=1/16 d=1/2
所以a6= a1+5d = 1/16+5/2=41/16