Question

求解，大神们

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Answer 1

设an=(3^n+5^n)/n
an+1=(3^(n+1)+5^(n+1))/(n+1)
lim n→∞ an/an+1
=lim [(3^n+5^n)/n]/[(3^(n+1)+5^(n+1))/(n+1)]
=lim [(3^n+5^n)*(n+1)]/[n*(3^(n+1)+5^(n+1))]
上下同除5^(n+1)
=lim [(3^n/5^(n+1)+1/5)*n+1]/[(3/5)^(n+1)+1]*n
=(0+1/5)*1/(0+1)
=1/5
所以收敛半径R=1/5
当x＝1/5时,级数通项为【(3/5)^n+1】/n
与调和级数∑1/n比较可得，【(3/5)^n+1】/n发散
当x＝－1/5时,级数通项为【(3/5)^n+1】(－1)^n/n＝(-1)^n*(3/5)^n/n+(-1)^n/n,
可知此级数由两个交错级数组成。分别用莱布尼茨定理判别。
第一个(-1)^n*(3/5)^n/n
设Un=(3/5)^n/n
Un+1=(3/5)^(n+1)/(n+1)=(3/5)*(3/5)^n/(n+1)
Un/Un+1=(5/3)*(n+1)/n=(5/3)*(1+1/n)＞1
即Un+1＜Un
且lim Un=lim (3/5)^n/n=0
故收敛。
第二个(-1)^n/n
设Vn=1/n
Vn+1=1/(n+1)＜Vn
limVn=lim 1/n=0
故也收敛。
因此该级数收敛.
综上收敛区间为[－1/5,1/5)