Question

求解不定积分

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Answer 1

∫xln(x+1)dx
＝∫ln(x+1)d(1/2*x^2)
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫x^2dln(x+1)
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫x^2/(x+1)dx
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫[x-1+1/(x+1)]dx
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×[1/2×x^2－x＋ln(x+1)]＋C
＝1/2×(x^2－1)×ln(x+1)－1/4×(x^2－2x)＋C

∫arcsinxdx
令t=arcsinx
则 x=sint
则dx=costdt
∫tcostdt
=tsint-∫sintdt
=tsint+cost
=arcsinx*sin(aicsinx)+cos(arcsinx)+C
=xarcsinx+√[1-(sin(arcsinx))²]+C
=xarcsinx+√(1-x²)+C

追问

第一个是不是错了？

为什么x ²换到下面成了x+1-1

追答

∫xln(x+1)dx
＝∫ln(x+1)d(1/2*x^2)
＝1/2x^2ln(x+1)－1/2∫x^2dln(x+1)
＝1/2x^2ln(x+1)－1/2∫x^2/(x+1)dx
＝1/2x^2ln(x+1)－1/2∫[x-1+1/(x+1)]dx
＝1/2x^2ln(x+1)－1/2[1/2×x^2－x＋ln(x+1)]＋C
＝1/2(x^2－1)ln(x+1)－1/4(x^2－2x)＋C
没错，×是乘号

追问

第三个等式到第四个等式的代换那

追答

没错呀，就是这样滴
x^2 = x^2-1 + 1
=(x-1)(x+1) + 1

追问

哦哦