Question

已知:如图,在三角形ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,AB的垂线过点D交AC于点F,AC的垂线过点E交AB于点G。

求证：1.D、G、F、E四点共圆。
2.B、C、F、G四点共圆

Answer 1

1.∵AB⊥DF，AC⊥GE
∴∠GDF=∠GEF=90°
根据“同弦所对圆周角相等”的逆定理，可判定G,D,E,F四点共圆

2.连接BF，CG
∵DF⊥AB，D为AB中点，∴DF为线段AB的中垂线，有AF=BF，易证：∠A=∠GBF
同理，由GE⊥AC，E为AC中点，可证GE为AC的中垂线，易证∠A=∠GCF
∴∠GBF=∠GCF
同样根据“同弦所对圆周角相等”这个定理的逆定理，可判定G,B,C,F四点共圆

Answer 2

图形自己画一下，我慢慢的说，一步一步的讲。
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，
又因为ED为AB的中垂线，所以AD＝BD、∠B＝∠BAD，设∠B＝∠BAD为x，
所以∠BDA＝180－2x
∠C=∠B＝x，
又因为∠BAD：∠DAC＝1：3
所以∠DAC＝3x
所以在△ADC中，∠DAC＋∠C＝∠ADC（
三角形的一个外角等于不相邻的两个
内角之和），上面知道∠BDA＝180－2x
所以3x＋x＝180－2x，得到x＝30，所以
∠B＝∠C＝30度。
觉得清楚易懂 望采纳，手机打字打了好长时间，望楼主采纳。

Answer 3

A