Question

已知函数f(x)对一切实数x,y满足:f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0

（1）求证：f(x)是奇函数；（2）求证：f(x)在实数集上单调递增
（3）若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-4)＞3

Answer 1

1.证明：因为f(x+y)=f(x)+f(y），所以f（0+0)=f(0)+f(0),得到f(0)=0,所以
f（x-x)=f（x）+f（-x）=0，所以f（-x）=-f（x），所以函数f(x)是奇函数；
2.设x1＞x2，那么x1-x2＞0，所以f（x1)-f（x2)=f（x1-x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2），所以f(x)在实数集上单调递增
3.因为f(2)=1，所以f（6）=f（4）+f（2）=f(2)+f(2）+f（2）=3f（2）=3，所以
f(x)+f(x-4)=f(2X-4)＞3=f(6)，所以2x-4＞6，解得x＞5