Question

数列题，急求详细答案，谢谢

各项均为正数的数列{An}的前n项和为Sn，且点（An,Sn)在函数y=二分之一x的平方+二分之一x-3的图像上
1.求数列{An}的通项公式
2.记Bn=nAn(n属于N*),求证1/B1+1/B2+.....+1/Bn<3/4

Answer 1

1.
由已知等式得
Sn=an²/2+an/2-3
令n=1
a1=a1²/2+a1/2-3
整理，得
a1²-a1-6=0
(a1+2)(a1-3)=0
a1=-2(数列各项均为正，舍去)或a1=3
Sn-1=a(n-1)²/2+a(n-1)/2-3
an=Sn-Sn-1=an²/2+an/2-3-a(n-1)²/2-a(n-1)/2+3
整理，得
an²-an-a(n-1)²-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
数列各项均为正，an+a(n-1)>0，要等式成立，只有an-a(n-1)-1=0
an=a(n-1)+1
数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列。
an=3+(n-1)×1=n+2
数列{an}的通项公式为an=n+2
2.
bn=nan=n(n+2)
1/bn=1/[n(n+2)]=(1/2)[1/n-1/(n+2)]
1/b1+1/b2+...+1/bn
=(1/2)[1/1-1/3+1/2-1/4+...+1/n-1/(n+2)]
=(1/2)[(1+1/2+...+1/n)-(1/3+1/4+...+1/n+1/(n+1)+1/(n+2)]
=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
<(1/2)(1+1/2-0-0)
=(1/2)(3/2)
=3/4
不等式成立。

Answer 2

1.由题Sn=1/2An^2+1/2An-3，当n=1时有a1=1/2a1^2+1/2a1-3,可得a1=3或a1=-1/2(舍去因为均为正)
因此在n>=2时有，S（n-1）=1/2A（n-1）^2+1/2A（n-1）-3，两式相减可得An^2-A（n-1）^2=An+A（n-1），可以化为[An+A（n-1）]*[An-A（n-1）]=An+A（n-1），因为各项均为正数，所以An+A（n-1）肯定不为0，所以）An-A（n-1）=1，为一个等差数列所以an=n+2
2bn=nan=n(n+2)
1/bn=1/[n(n+2)]=(1/2)[1/n-1/(n+2)]（把相乘的两项拆成相减的，以便相消）
1/b1+1/b2+...+1/bn
=(1/2)[1/1-1/3+1/2-1/4+...+1/n-1/(n+2)]
=(1/2)[(1+1/2+...+1/n)-(1/3+1/4+...+1/n+1/(n+1)+1/(n+2)]
=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
<(1/2)(1+1/2-0-0)
=(1/2)(3/2)
=3/4