Question

抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．

抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得Q点到A点与C点的距离之和最短？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1) 易知函数图像的对称轴为 x=1，
所以，该抛物线的解析式是：f(x)=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3。
2) 显然C（0，3），且C关于x=1的对称点为C1（2，3），
对对称轴上任一点Q，有QA+QC=QA+QC1>=AC1=√(3^2+3^2)=3√3，
当且仅当Q是线段AC1与直线x=1的交点时，QA+QC最小，
此时Q（1，2）。

Answer 2

1) 已知函数图像的对称轴为 x=1，
所以，该抛物线的解析式是：f(x)=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3。
2) 显然C（0，3），且C关于x=1的对称点为C1（2，3），
对对称轴上任一点Q，有QA+QC=QA+QC1>=AC1=√(3^2+3^2)=3√3，
当且仅当Q是线段AC1与直线x=1的交点时，QA+QC最小，
此时Q（1，2）。 o(∩_∩)o

Answer 3

y=-x
解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
∴方程-x2+bx+c=0的两根为x=1或x=-3，
∴1+（-3）=b，
1×（-3）=-c，
∴b=-2，c=3，
∴二次函数解析式是y=-x2-2x+3．