Question

如图，AB为⊙O的直径，点C位弧AB的中点，弦CE叫AB于点F，D为AB延长线上的一点，切DE＝DF。

如图，AB为⊙O的直径，点C位弧AB的中点，弦CE叫AB于点F，D为AB延长线上的一点，切DE＝DF。（1）求证：DE是⊙O的切线;

Answer 1

证明：（1）连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）
（2）证法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12（9分）
BC=±2 （舍去负值）
∴BC=2 ．（10分）

证法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分）
在Rt△ADB与Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FEB
∴△ADB∽△FEB，则
即 ，∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，∴CF=3EF
利用勾股定理得：
（7分）
又∵△EBC∽△ECA
则 ，即则CE2=AE•BE（8分）
∴（CF+BF）2=（6-BE）•BE
即（3EF+EF）2=（6-2 EF）•2 EF
∴EF= （9分）
∴BC= ．（10分）

Answer 2

1)证明:DE=DF,则∠EDF=∠DFE=∠CFO.
连接OC,OE,OC=OE,则∠OCE=∠OEC.
又点C为半圆AB的中点,则OC⊥AB.
∴∠OCE+∠CFO=90°,则∠OEC+∠EDF=90°,得直线DE是圆O的切线.