Question

设A是n*n阶矩阵，α是列向量，且存在正整数k，使得A^(k-1)α≠0,A^k=0,

证明：α，Aα,...,A^(k-1)α线性无关。急用，谢谢！

Answer 1

证: 设 m0α+m1Aα+m2A^2α+…+m(k-1)A^(k-1)α=0 (*)
等式两边左乘A^(k-1), 由A^kα=0得
m0A^(k-1)α = 0
而 A^(k-1)α≠0, 所以 m0=0.
代入(*)式得 m1Aα+m2A^2α+…+m(k-1)A^(k-1)α=0 (**)

同理, 等式两边左乘A^(k-2), 由A^kα=0得
m1A^(k-1)α = 0
而 A^(k-1)α≠0, 所以 m1=0.
代入(**)式得 m2A^2α+…+m(k-1)A^(k-1)α=0 (***)

如此类推, 得 m0=m1=...=m(k-1)=0.
所以向量组α,Aα,A^2α,...,A^(k-1)α线性无关.

追问

等式两边左乘A^(k-1), 由A^kα=0得
m0A^(k-1)α = 0
这个是怎么来的，没看懂

追答

m0^(k-1)α+m1A^kα+m2A^(k+1)α+…+m(2-1)A^(2k-2)α=0
由A^kα=0, 后面的都等于 0