Question

已知：在三角形ABC中，AD为∠A外角平分线，求证：AB除以AC=BD除以DC

紧急！

Answer 1

本题的辅助线作法很多.
根据你的图形可知是:过点D作AC的平行线,交BA的延长线于E.
证明:DE∥AC,则∠3=∠2;又∠2=∠1.
故∠3=∠1,AE=DE.
DE∥AC,则:⊿ABC∽⊿EBD.
AB/AC=EB/ED.--------------------------------------(1)
又EB/AE=BD/CD,故EB/ED=BD/CD.-------------(2)
∴AB/AC=BD/CD.(等量代换)

Answer 2

由正弦定理得 ,在△ACD中
AC/sin∠ADC=CD/sin∠DAC
AC/CD=sin∠ADC/sin∠ACD

在△ABD中
AB/sin∠ADC=BD/sin∠BAD
AB/sin∠ADC=BD/sin（180-∠ACD）
AB/BD=sin∠ADC/sin（180-∠ACD）
AB/BD=sin∠ADC/sin∠ACD
∴ AC/CD=AB/BD
∴ AB/AC=BD/DC

追问

我还没学正弦定理，能用相似证明吗？

Answer 3

证明：
过点C作AD的平行线，叫BA的一次性于点E
则∠E=∠BAD，∠ACE=∠CAD
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠E=∠ACE
∴AC=AE
∵AD∥CE
∴AB/AE =BD/BC
∴AB/AC=BD/DC

追问

你说的跟我的图不一样啊

追答

题中说的是AD是角平分线啊
哦
重来，原来是外角平分线
证明：
过点C作CF∥AD，交AB于点F
则∠EAD=∠AFC，∠CAD=∠ACF
∵∠EAD=∠CAD
∴∠ACF=∠AFC
∴AF=AC
∵CF∥AD
∴BD/CD=BA/AF=BA/AC

追问

能不做辅助线吗？我们老师这题讲过了，但全班没几个人听懂，他没做辅助线，他要求必须按照他说的方法做的

追答

那就是面积法

追问

他没用面积做，就是用相似做的

追答

△ABD的面积：△ACD的面积=BD：CD（高相等，BD，CD是底）
△ABD的面积：SACD的面积=AB：AC（高相等，AB，AC是底）
∴BD：CD=AB：AC
不画辅助线，还用相似，不可能，现在图中没有相似的三角形，那他作错了