Question

设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an-1,求数列{an}的通向公式

Answer 1

2Sn=(n+2)an-1 (1)
2Sn+1=(n+3)an+1 -1 (2)
(2)- (1)得
2an+1=(n+3)an+1-(n+2)an
（n+2)an=(n+1)an+1
a(n+1)/an =(n+2)/(n+1)
an/a(n-1) =(n+1)/n
an/a（n-1) ×a(n-1)/a(n-2) ×a(n-2)/a(n-3) ×……×a2/a1 =(n+1)/n×n/(n-1)×….×4/3×3/2
an=(n+1)/2
本题其实是由递推公式求通项公式，采用累积法。

Answer 2

当n=1时易知a1=1；又
2sn=(n+2)an-1
2s(n-1)=(n+1)a(n-1)-1，两式相减，得
2an=(n+2)an-(n+1)a(n-1)，则
n*an=(n+1)*a(n-1)，即
an/(n+1)=a(n-1)/n.
设bn=an/(n+1)，则
b1=a1/2=1/2；
b(n-1)=a(n-1)/n，故
bn=b(n-1)，即bn=b1=1/2，代入bn=an/(n+1)，得
an/(n+1)=1/2，则
an=(n+1)/2.将a1=1代入，成立.故
an=(n+1)/2

Answer 3

2S(n)=(n+2)*a(n)-1
2S(n-1)=(n+1)*a(n-1)-1
2a(n)=2S(n)-2S(n-1)=(n+2)*a(n)-(n+1)*a(n-1)
a(n)=(n+1)/n* a(n-1)
a(n-1)=n/(n-1) *a(n-2)
a(n-2)=(n-1)/(n-2) *a(n-3)
……
a2=3/2 *a1
连乘得：a(n)=a1*(n+1)/2
n=1时
2a1=2S1=3a1-1
a1=1
a(n)=(n+1)/2

Answer 4

2sn=(n+2)an-1
2s(n-1)=(n+1)a(n-1)-1
2an=2sn-2s(n-1)=(n+2)an-(n+1)a(n-1)
an=(n+1)/n a(n-1)

Answer 5

n=1时有2a1=3a1-1，所以a1=1。n>=2时，有2S（n-1）=（n+1）a（n-1）-1，跟题中式子做差得
nan=（n+1）a（n-1），所以an=a（n-1）×（n+1）/n=a（n-2）×(n/n-1)×（n+1/n）=···=a1×（n+1/2）=（n+1）/2