Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的圆O

在Rt△ABC中，角ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的圆O与AC边相切于点E，连结DE并延长，与BC的 延长线交于F.
（1）求证：BD=BF
（2）若BC=6，AD=4，求圆O的面积

对不对？

Answer 1

(1)连接BE，BE垂直于DF，取BD中点O，连OE，则OE平行于BF，
所以∠OEB=∠EBC，即∠OBE=∠EBC,
所以BE既为垂线也为中线，
所以BD=BF.
(2)AO/AB=EO/BC即(AD+DO)/(AD+DB)=EO/BC,设DO=EO=OB=r，r=4，所以面积为16∏

Answer 2

（1）证明：如图，连接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；

（2）解：设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴
AO
AB
=
OE
BC
，即
r+4
2r+4
=
r
　　6
，
∴r2-r-12=0，
解之得r1=4，r2=-3（舍），
经检验，r=4是原分式的解．
∴S⊙O=πr2=16π．