Question

求下列函数值域 ①y=log5（-x^2+4X+1） ②y=log1/3（x^2-2X+4）

Answer 1

求值域得先看定义域，对于题①来说：-x^2+4X+1〉0
因为：y=-x^2+4X+1的函数图像是开口向下的抛物线，那么它与X轴相交的亮点之间的X值是其定义域，0到函数顶点的纵坐标是其值域。根据函数顶点纵坐标公式得到顶点纵坐标为：
Y=(4*(-1)*1-4^2)/4*(-1)=(-4-16)/(-4)=5
故：：0〈-x^2+4X+1〈=5
log5（0）趋向于负无穷， log5（5）=1
题①函数值域为：（负无穷，1]

对于题②来说： x^2-2X+4〉0 的部分，
而这个开口向上的抛物线整个在X轴上方，因为顶点纵坐标为：
（4*2*4-(-2)^2）/4*1=7>0
所以x^2-2X+4得到的值范围为7到正无穷，
由于0〈1/3〈1， 故函数②图像在0到正无穷之间是无限贴近X轴的，
所以题②函数值域为：（0，log1/3（7））

Answer 2

题①:
要求值域首先要知道定义域。令u=-x^2+4X+1且u>0，原函数的值域等价于函数y=log5 u的值域，所以要先求得定义域即u的取值范围，也就是 -x^2+4X+1的值域。
故 0<-x^2+4X+1=-（x-2）^2+5<=5
由5>1,函数log5 u在（0，5)是增函数，且值域为（负无穷，1]

题②：
同上理可求得x^2-2X+4=(x-1)^2+3>=3>0
由1/3<1，函数log1/3 u在[3，正无穷）上是减函数，且值域为（负无穷，-1]