Question

在平面直角坐标系XOY 中，已知二次函数y=ax²+bx+c 的图象与x 轴交于AB 两点（点A 在点B 的左边），

与y 轴交于点C, 其顶点的横坐标为1，且过点 和 ．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由；
且过点（2,3）（-3，-12）
若直线 y=kx与线段BC 交于点D （不与点B,C 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 BOD为顶点的三角形与△BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

1、由于顶点横坐标为1，所以函数可以写成：y=a（x-1）²+b，
再将点（2,3）及（-3，-12）代人，可以得出a=-1，b=4，
所以函数的表达式为y=-x²+2x+3。

2、从题意可以得出该直线有2种情况：
①是该直线平行与ac，斜率相等，而ac的斜率=（3-0）/（0+1）=3，
所以该直线为y=3x，
另外由B、C的坐标可以得出bc的表达式y=-x+3，
联立可以得出D点坐标为（3/4，9/4）

②是该直线的倾角=∠ACB
△ABC中ac=√10，bc=3√2，ab=4
余弦定理有ab²=ac²+bc²-2ac*bc*cos∠ACB
即16=10+18-12*√5*cos∠ACB
cos∠ACB=1/√5，tan∠ACB=2=k
所以该直线为y=2x，
同理和bc的表达式y=-x+3联立
可以得出D点坐标为（1,2）
所以最终可以知道该直线有2条：y=3x或y=2x，相应D点坐标为（3/4,9/4）或（1,2）
这种方法是希望你了解函数和图形的特点，找到它们的规律，而不是拿到就死算。

Answer 2

（1）已知了抛物线的顶点横坐标为1，即x=- b/2a=1，将已知的两点坐标代入抛物线中，联立三式即可求出抛物线的解析式．
（2）本题要分两种情况讨论：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解题思路都是通过相似三角形得出的关于BD、BC、BO、BA的比例关系式求出BD的长，然后根据∠OBC=45°的特殊条件用BD的长求出D点的坐标．

现在解答如下：
1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
∴此二次函数的表达式为y=-x2+2x+3．

2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y=-x2+2x+3中，令y=0，则由-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|= 32+32=3 2．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，则只需 |BD||BC|=|BO||BA|，①或 |BO||BC|=|BD||BA|②成立．
若是①，则有|BD|= |BO|•|BC||BA|= 3×324= 924．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2═（ 924）2．
解得|BE|=|DE|= 94（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3- 94= 34．
∴点D的坐标为（ 34， 94）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x．
或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x．
此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（ 34， 94）．
若是②，则有|BD|= |BO|•|BA||BC|= 3×432=2 2．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（2 2）2．
解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴点△BAC的坐标为（1，2）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（ 3/4， 9/4）或（1，2）．

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