Question

急：一道初中几何证明题

已知：三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形（如图），连接BE，取BE中点M，连接CM、DM
求证：CM=DM，且CM垂直DM

Answer 1

去AE中点P，AB中点Q，连结DP、MP、CQ、MQ，则：DP=(1/2)AE=MQ，PM=(1/2)AB=CQ，且∠MPD的两边与∠CQM的量边互相垂直，则∠MPD=∠CQM，从而三角形MPD与三角形CQM全等，所以CM=DM，及CM垂直DM。

Answer 2

延长DM至N使MN=DM，连接NB，CN。延长ED交AB于F
∵EM=BM ∴NB//ED NB=ED
∵⊿ABC与ADE为等腰直角三角形
∴∠DFA=90°-∠DAF=90°-(45°-∠CAD)=45°+∠CAD
∵BN//EF
∴∠DFA=∠NBF=∠NBC+45°(同位角相等)
∴∠NBC+45°=45°+∠CAD
∴∠NBC=∠CAD
∵NB=ED=DA 且 CB=CA
∴ ⊿CNB≌⊿CDA （SAS)
∴CN=CD ∠NCB=∠DCA
∵∠DCA+∠DCB=90°
∴∠NCB+∠DCB=90° 即∠DCN=90°
则⊿CDN为等腰直角三角形 ∠CDM=45°
∵M为DN中点
∴CM⊥DM
∴∠DCM=90°-∠CDM=45°
∴⊿MDC为等腰直角三角形
CM=DM且CM⊥DM

Answer 3

这道题很经典啊，当年直升高中考试就有这题，该题的变形有很多的，所求的问题也很多。