Question

设函数f(x)和g（x）均在某一领域内有定义，f(x)在x0处可导，f(x0)=0,g(x0)在X0处连续,讨论f(x)g(x)

在x0处的可导性。 怎么叙述呢？、像这样的题目

Answer 1

可以这么解答：由条件知f(x)在x0处可导。则f(x)在x0处必连续(可导必连续，连续不一定可导)。设h（x）=f(x)g(x)现在先讨论h（x）在x0处的连续性：hxo+（x）=f(x0+)g(x0+);hx0-(x)=f(x0-)g(x0-);
由题意可知fx0-（x）=fx0+（x）=f（x0）=0则可得hx0+（x）=hx0-（x）=0g(x0+)=f(x0-)g(x0-)=0
即知h（x）在x0处左右都连续，则h（x）在x0处连续
再讨论h（x）在x0处的可导性：limx—x0-h（x）=limx—x0-f(x)g(x)=limx—x0-f（x）*limx—x0-g（x）
limx—x0+h（x）=limx—x0+f(x)g(x)=limx—x0+f（x）*limx—x0+g（x）由条件可知f(x)在x0处可导，则有limx—x0+f（x）=limx—x0-f（x）=limx—x0f（x）=limf（x0）=0则易得limx—x0-h（x）=limx—x0+h（x）=0故知h（x）在x0处左右极限均存在且相等值为0
综上所述h（x）在x0处连续且存在极限值0故可导 连续可导