Question

一道求关于数列和极限的题

数列{Xn}满足0<X1<1/2,Xn+1=Xn（1-2Xn），n=1,2,……，证明：
（1）{Xn}单减，且0<Xn<1/2,n=1,2……
（2）lim(X趋向于无穷大）Xn存在，并求出其值.

Answer 1

(1)数学归纳
对于X1显然成立
假设对于n=k成立，0<Xk<1/2,
n=k+1,Xk+1=Xk(1-2Xk)>0因为Xk>0,1-2Xk>0
Xk(1-2Xk)-1/2=-2Xk^2+Xk-1/2=-2(Xk-1/4)^2-3/8<0
所以0<Xk+1<1/2
所以对于任意n，都有0<Xn<1/2

(2)Xn+1-Xn=Xn(1-2Xn)-Xn=-2Xn^2<0,所以Xn单调递减，且有下界0，
所以由单调有界定理，极限必存在
假设为x,令n->无穷，
得到方程 a=a(1-2a)
2a^2=0
a=0
所以极限为0

追问

假设为x,令n->无穷，
得到方程 a=a(1-2a)
2a^2=0
a=0
所以极限为0

这段不懂哎。。

追答

就是对这个方程取极限，令n->无穷
lim n->无穷 Xn+1=lim n->无穷 Xn（1-2Xn）
然后我们知道Xn极限存在
所以可以假设
lim n->无穷 Xn+1=lim n->无穷 Xn =a，因为收敛数列的极限唯一
我们可以用a来代替Xn和Xn+1
a=a(1-2a)
解之，得到2a^2=0,a=0

Answer 2

1) 显然，若0<xn<1/2，则由x(n+1)定义知，有0<x(n+1)<1/2。
由于 x(n+1)-xn=xn(1-2xn)-xn=-2xn^2<0，
所以，｛xn｝是单调递减数列。

2) 由1）可知，｛xn｝是单调有界数列，故必有极限，设为x，
则由 x(n+1)=xn(1-2xn)，两边取极限，得
x=x(1-2x)，即 2x^2=0，
所以，x=0，
即 lim(n→∞)xn=0。

Answer 3

你确定是,Xn+1=Xn（1-2Xn）但化简 会无解啊

追问

是的。

Answer 4

Xn-Xn+1=2Xn^2>=0,所以Xn递减
因为0<X1<1/2,假设0<Xn<1/2,
Xn+1=Xn(1-2Xn), 0<1-2Xn<1,
得到 0<Xn+1<1/2
{Xn}单调有界 必有极限，根据数列极限运算
limXn+1=limXn(1-2limXn)
得到limXn=0

Answer 5

单减，只要把给的等式Xn项移到左边就出来了，右边小于0嘛，
证明极限存在主要方法：
1，单调有界
2，找出这个界L，然后证明lim(Xn)-L----->0即可

X1在0~1/2之间，Xn+1=-2*(Xn-1/2)^2+1/2<1/2,也必有Xn+1>0,单减有下界，所以必有极限
设极限L，有L=L*(1-2*L),所以L=1/2(舍去),L=0