Question

一道关于函数极限的题

已知lim(x趋向于零）[(f(x)-1)/x -sinx/(x^2)]=2,求lim(x趋向于零）f(x).

Answer 1

lim(x→0) [(f(x)-1)/x-sinx/x²]
=lim(x→0) [(xf(x)-x-sinx)/x²]
=2
∴lim(x→0) [xf(x)-x-sinx]=0
则由洛必达法则知
lim(x→0) [(xf(x)-x-sinx)/x²]
=lim(x→0) [(xf(x)-x-sinx)'/2x]
=lim(x→0) [(f(x)+xf'(x)-1-cosx)/2x]
=2
∴lim(x→0) [f(x)+xf'(x)-1-cosx]=0
∴lim(x→0) f(x)=1+cos0=2

追问

∴lim(x→0) [f(x)+xf'(x)-1-cosx]=0

这步不懂哎。。

追答

∵分母lim(x→0) 2x=0
但lim(x→0) [(f(x)+xf'(x)-1-cosx)/2x]=2, 不趋近于∞
∴lim(x→0) [f(x)+xf'(x)-1-cosx]=0

追问

这样都可以啊。可以直接说是0的啊。那不能是无穷大呢

Answer 2

由题意得 当x→0 则 lim sinx/x→1
(f(x)-1)/x-sinx/x^2=(f(x)-2)/x=2
f(x)=2x+2

Answer 3

把原式变形
lim(x→0)[(f(x)-2)/x+1/x-sinx/(x^2)]
=lim(x→0)[(f(x)-2)/x+(x-sinx)/x^2]
(x-sinx)/x^2极限用洛比达可以算出是2
那lim(x→0)(f(x)-2)/x=0
lim(x→0)(f(x)-2)=0
lim(x→0)f(x)=2

追问

(x-sinx)/x^2极限用洛比达可以算出是2
是么？

追答

不好意思,是0

追问

那前面的也不对了呢

追答

接着回答
lim(x→0)(f(x)-2)/x=2
f(x)-2=O(x) O这个数学符号定义应该知道吧
lim(x→0)(f(x)-2)=0
lim(x→0)f(x)=2