∫x/(1+cos²x)dx
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1、令x=sinθ，dx=cosθdθ∫dx/[1+√(1-x²)]=∫cosθ/(1+cosθ)dθ=∫(cosθ+1-1)/(1+cosθ)dθ=∫dθ-∫1/(1+cosθ)·(1-cosθ)/(1-cosθ)dθ=∫dθ-∫(1-cosθ)/sin²θdθ=∫dθ-∫(csc²θ-cscθcotθ)dθ=θ+cotθ-cscθ+C=arcsin(x)+√(1-x²)/x-1/x+C∫tan⁴xdx=∫tan²x·tan²xdx=∫tan²x·(sec²x-1)dx=∫tan²xsec²xdx-∫tan²xdx=∫tan²xd(tanx)-∫(sec²x-1)dx=(1/3)tan³x-tanx+x+C
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cos2x=2cos^2x-1
所以 1+cos2x=2cos²x
所以 1+cos2x=2cos²x
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∫dx/(1+cos²x)=∫dx/(sin²x+2cos²x)=∫dx/[(1+2tan²x)(cos²x)]=∫d(tanx)/(1+2tan²x)=√2/2*∫d(√2tanx)/[1+(√2tanx)²]=√2/2*arctan(√2tanx)+C
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∫dx/(1+cos²x)=∫dx/(sin²x+2cos²x)=∫dx/[(2+tan²x)(cos²x)]=∫d(tanx)/(2+tan²x)=(√2/2)*arctan((√2tanx)/2)+C
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