Question

高中数学必修五问题

设二次方程anx²-a(n+1)x+1=0(n=1,2,3…)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3。
（1）试用an表示a（n+1)；
（2）求证：{an-2/3}是等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式。

急求！！！！！！！

Answer 1

设二次方程a‹n›x²-a‹n+1›x+1=0(n=1,2,3…)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3。
（1）试用a‹n›表示a‹n+1›；
（2）求证：{a‹n›-2/3}是等比数列；
（3）求数列{a‹n›}的通项公式。
解：(1)∵α，β是方程的根，∴α+β=a‹n+1›/a‹n›，αβ=1/a‹n›；
故有6α-2αβ+6β=6(α+β)-2αβ=6a‹n+1›/a‹n›-2/a‹n›=3..........(1)
即有6a‹n+1›-2=3a‹n›，∴a‹n+1›=(1/2)a‹n›+1/3
(2)由(1)得 6a‹n+1›-2=3a‹n›，即有2a‹n+1›-2/3=a‹n›，从而有2a‹n+1›-4/3=a‹n›-2/3
于是得 2(a‹n+1›-2/3)=a‹n›-2/3，∴(a‹n+1›-2/3)/(a‹n›-2/3)=1/2=常量，∴数列{a‹n›-2/3}
是一个公比q=1/2的等比数列。
(3) a‹n›-1/3=(a₁-2/3)(1/2)ⁿֿ¹，∴a‹n›=(a₁-2/3)(1/2)ⁿֿ¹+1/3

Answer 2

解：(1)∵α，β是方程的根，∴α+β=a‹n+1›/a‹n›，αβ=1/a‹n›；
故有6α-2αβ+6β=6(α+β)-2αβ=6a‹n+1›/a‹n›-2/a‹n›=3..........(1)
即有6a‹n+1›-2=3a‹n›，∴a‹n+1›=(1/2)a‹n›+1/3
(2)由(1)得 6a‹n+1›-2=3a‹n›，即有2a‹n+1›-2/3=a‹n›，从而有2a‹n+1›-4/3=a‹n›-2/3
于是得 2(a‹n+1›-2/3)=a‹n›-2/3，∴(a‹n+1›-2/3)/(a‹n›-2/3)=1/2=常量，∴数列{a‹n›-2/3}
是一个公比q=1/2的等比数列。
(3) a‹n›-1/3=(a₁-2/3)(1/2)ⁿֿ¹，∴a‹n›=(a₁-2/3)(1/2)ⁿֿ¹+1/3