Question

已知三角形的两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根，BC长为5.

（1）.求K为何值时，三角形是以BC为斜边的直角三角形？
（2）.K为何值时，三角形ABC是等腰三角形？并求出三角形ABC的周长

Answer 1

(1)k为何值,三角形是以BC为斜边的直角三角形
【解】应根据韦达定理来计算,求得k = -5或2,

检验得 k = 2 不合题意,所以k=-5

或者：方程左边=x^2-(2k+3)x+(k+1)(k+2)=[x-(k+1)][x-(k+2)]
所以方程的两个解分别为x=k+1 x=k+2
又由直角三角形三边关系得：(k+1)^2+(k+2)^2=25
整理得：k^2+3k-10=0
即(k+5)(k-2)=0
解得：k=-5或k=2
又因为k+1和k+2是直角三角形的边长，故为正数
所以k=2

(2)k为何值,三角形ABC是等腰三角形?并求的三角形ABC的周长

【解】分两种情况来计算,当AB=AC时,即方程的两个根相等,

也就是▲＝b^2-4ac=0,

即(2k+3)^2 - 4(k^2+3k+2) = 0,方程无解。

当BC=AC或者BC=AB时，方程其中一个根等于5，
将k=5代入原方程得k=3或4，

当k=3时，x的另外一个根是4，△ABC的周长为14；

当k=4时，x的另外一个根是6，△ABC的周长是16。