Question

如图,等腰直角△ABC中,CA=CB,点E为△ABC外一点,CA=CE,CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，求证：三角形CBE

如图,等腰直角△ABC中,CA=CB,点E为△ABC外一点,CA=CE,CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，求证：三角形CBE为等边三角形

Answer 1

∵CA=CB CA=CE∴CB=CE∴△CBE为等腰三角形
∵CD平分∠ABC ∠ACB=90°
∴∠DCB=45°∵∠CDE=60°
∴∠DFB=105°(外角定理)(AE与BC交于点F）
∵∠ABC=∠BAC=45°
∴∠BAD=30°∴∠DAC=15°
∵CA=CE
∴∠DAC=∠DEC=15°（等边对等角）
∴∠ACE=150°
∵∠ACB=90°
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°
∴△CBE 为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形）

Answer 2

解：
作DF⊥CA于F，DP⊥BC于P，DQ⊥EA于Q
易得DF=DP
∵∠FAD=∠DAE=80°
∴DQ=DP
∴ED平分∠AEB
∵∠BED=∠BCD+∠CDE
∴2∠BED=2∠BCD+2∠CDE
∴∠AEB=∠ACB+2∠CDE=∠ACB+20°
∴∠CDE=10°