Question

问几道奥数题~~~~~求高手解答

1.一个2011位数77……77（1005个）？44……44（1005个）能分别被7,11,13整除，问？代表几？
2.二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈报数，如果报2和200的是同一人，共有多少人？
3.任取一个数3456，用A表示其积的各位数字和，用B表示A的各位数字之和，C表示B的各位数字之和，问C是多少？

Answer 1

111111能被7、11、13整除。

将原2011位数字分段，可得原要求等效于：777A444要能被7，11，13整除
能被7整除：A=3
能被11整除：A=0
能被13整除：A=6 \

报2和200的同一个人,说明198 (200-2=198)可以整除小朋友人数,且除数为圈数.
那么设圈数为a,则:
20 < 198/a < 30
=> 20a<198 => a < 9.9 (1)
30a>198 => a > 6.6 (2)
所以 a可以选 7 , 8 , 9.
经验证,只有9能被198整除,所以共有小朋友 198/9 = 22 人

c=9
一个整数除以9的余数与这个整数各个位数的和除以9的余数是相同的,因为
设整数a=an*10^n+an-1*10^(n-1)+……+10*a2+10^0*a1，其中10^n除9余数都是1
所以a除上9的余数与a1+……an的余数相同
由上分析，A,B,C,与任取一个四位数乘3456余数相同，而3456整除9，所以c=9

3+4+5+6=18能被9整除，所以3456能被9整除，所以积能被9整除，
所以A能被9整除，所以B能被9整除，所以C能被9整除
小于99的能被9整除的数各数字之和肯定等于9（比如9,18,27,..,81,90）
9999*3456最多8位数，所以A<=8*9=72
所以B=9
所以C=9

Answer 2

请问楼主你可以确定下第一道题是不是写错什么地方了，算了好几遍始终没结果，请确认下吧

Answer 3

udj