Question

如图,AD为△ABC的外接圆的直径

如图,AD为三角形ABC外接圆的直径,AD垂直于BC，垂足为F，角ABC的平分线交AD于点E，连接BD,CD
(1)求证：BD=CD
（2）请判断B,E,C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？

第二题中为什么∠EBF=∠BAD

Answer 1

1、∵AD是直径，则必过圆心O，AD⊥BC，

即OF⊥BC，

∴F是BC的中点，（弦心距垂直平分弦），

∴AD是BC的垂直平分线，

∵D∈AD，

∴BD=CD。

2、∵AD是BC的垂直平分线，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰△，

∴AF是〈BAC平分线，

∵BE是〈ABC平分线，

∴E是内心，（三角形三条角平分线的交点）

∴CE是〈C平分线，

〈BEF=〈BAE+〈ABE=〈A/2+〈B/2，

〈EBD=〈B/2+〈FBD，

〈FBD=〈DAC=〈A/2，（同弧圆周角相等），

〈FBD=〈B/2+〈A/2，

∴〈DBE=〈DEB，

∴BD=DE，

同理可证DE=DC，

BD=DE=DC，

∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上。

∠EBF≠∠BAD，除非是正三角形。

Answer 2

1、∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°﹙直径所对的圆周角是直角﹚，
又AD⊥BC，∴AD平分BC，∴由等腰△三线合一定理得：
△ABC是等腰△，即AB=AC，
∴△ABD≌△ACD﹙HL﹚，
∴DB=DC。
2、由△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
又∠CAD=∠CBD﹙同弧所对的圆周角相等﹚，
∠BED=∠ABE＋∠BAE，﹙外角定理﹚，
而∠ABE=∠FBE﹙角平分线定义﹚，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE=DC，∴B、C、E三点在以D为圆心，DB为半径的圆上。

Answer 3

1、∵AD是直径，则必过圆心O，AD⊥BC，
即OF⊥BC，
∴F是BC的中点，（弦心距垂直平分弦），
∴AD是BC的垂直平分线，
∵D∈AD，
∴BD=CD。
2、∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰△，
∴AF是〈BAC平分线，
∵BE是〈ABC平分线，
∴E是内心，（三角形三条角平分线的交点）
∴CE是〈C平分线，
〈BEF=〈BAE+〈ABE=〈A/2+〈B/2，
〈EBD=〈B/2+〈FBD，
〈FBD=〈DAC=〈A/2，（同弧圆周角相等），
〈FBD=〈B/2+〈A/2，
∴〈DBE=〈DEB，
∴BD=DE，
同理可证DE=DC，
BD=DE=DC，
∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上。
∠EBF≠∠BAD，除非是正三角形。

Answer 4

明：（1）∵AD为直径，AD⊥BC，
∴弧BD=弧CD
∴BD=CD．
（2）∵弧BD=弧CD
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF，
即∠BED=∠EBD，
∴BD=DE，
∴CD=DE．
这样对吗？

Answer 5

、∵AD是直径，则必过圆心O，AD⊥BC，
即OF⊥BC，
∴F是BC的中点，（弦心距垂直平分弦），
∴AD是BC的垂直平分线，
∵D∈AD，
∴BD=CD。
2、∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰△，
∴AF是〈BAC平分线，
∵BE是〈ABC平分线，
∴E是内心，（三角形三条角平分线的交点）
∴CE是〈C平分线，
〈BEF=〈BAE+〈ABE=〈A/2+〈B/2，
〈EBD=〈B/2+〈FBD，
〈FBD=〈DAC=〈A/2，（同弧圆周角相等），
〈FBD=〈B/2+〈A/2，
∴〈DBE=〈DEB，
∴BD=DE，
同理可证DE=DC，
BD=DE=DC，
∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上。
∠EBF≠∠BAD，除非是正三角形。